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第一章 赋范空间和有界线性算子1

1.1 Banach空间和Hilbert空间1

1.1.1 赋范空间和Banach空间1

1.1.2 内积空间和Hilbert空间4

1.1.3 正交集和正交基7

习题1.19

1.2 连续线性算子12

1.2.1 连续线性算子和它的范数12

1.2.2 赋范线性空间？（X,Y）15

1.2.3 逆算子和有界的逆算子17

习题1.220

1.3 共轭算子22

1.3.1 Banach空间上的共轭算子22

1.3.2 Riesz定理和Lax-Milgram定理23

1.3.3 Hilbert空间上的共轭算子27

1.3.4 共轭算子的例29

习题1.330

1.4 投影算予32

1.4.1 互补的线性子空间和投影算子32

1.4.2 连续的投影算予33

1.4.3 不变予空间和约化子空间35

习题1.437

1.5 正常算子和自共轭算子38

1.5.1 正常算子和自共轭算子的定义、例39

1.5.2 自共轭算子的性质39

1.5.3 正常算子的性质42

1.5.4 非负的和正的算予44

1.5.5 自共轭线性算子的平方根46

习题1.549

1.6 紧算子51

1.6.1 紧的线性算子的定义和例51

1.6.2 紧线性算子的性质53

1.6.3 弱列紧55

1.6.4 紧算子的有穷秩逼近56

习题1.658

第二章 有界线性算子的谱61

2.1 谱集和正则点集61

2.1.1 线性算子正则点和谱点的定义61

2.1.2 线性算子谱的例63

习题2.169

2.2 谱集的基本性质71

2.2.1 有界线性算子的谱71

2.2.2 近似点谱75

2.2.3 有界线性算子的谱半径76

习题2.278

2.3 线性算子的几何分析81

2.3.1 单位分解和投影算子的加权和81

2.3.2 投影算子加权和的性质83

2.3.3 投影算子加权和的谱84

习题2.387

2.4 紧线性算子的谱88

2.4.1 紧线性算子的特征值88

2.4.2 紧算子的谱集90

2.4.3 例92

习题2.493

2.5 紧线性算子的结构94

2.5.1 紧线性算子的指标94

2.5.2 紧线性算子的谱分解97

2.5.3 Riesz-Schauder定理99

习题2.5101

2.6 正常算子和自共轭算子的谱102

2.6.1 正常线性算子的谱102

2.6.2 有界自共轭算子的谱103

2.6.3 紧的正常算子的谱分解106

2.6.4 极大极小原理108

2.6.5 Cartesian分解109

习题2.6110

2.7 有界自共轭算子的谱分解112

2.7.1 谱族112

2.7.2 谱积分115

2.7.3 谱族与线性算子的谱118

习题2.7121

2.8 自共轭算子的演算和它的谱分解123

2.8.1 算子演算和谱积分123

2.8.2 酉算子124

习题2.8126

第三章 无界线性算子128

3.1 闭的和可闭的线性算子129

3.1.1 线性算子的图和图模129

3.1.2 闭线性算子的例131

3.1.3 可闭的线性算子132

习题3.1134

3.2 共轭算子134

3.2.1 无界线性算子的共轭算子134

3.2.2 二次共轭算子136

习题3.2139

3.3 对称算子和自共轭算子140

3.3.1 对称算子140

3.3.2 自共轭的线性算子141

习题3.3143

3.4 对称算子的结构和亏指数145

3.4.1 对称算子的值域和零空间145

3.4.2 共轭算子定义域的结构147

3.4.3 对称线性算子的亏指数148

习题3.4150

3.5 Cayley变换和对称算子的自共轭扩张151

3.5.1 Cayley变换151

3.5.2 对称算子的对称扩张154

习题3.5156

第四章 无界线性算子的谱159

4.1 无界线性算子的谱159

4.1.1 无界线性算子谱的定义159

4.1.2 谱分析的例子160

习题4.1165

4.2 无界线性算子谱的分布167

4.2.1 无界线性算子谱集的性质167

4.2.2 线性算子的数值域168

4.2.3 线性算子的正则型域170

4.2.4 无界自共轭算子谱集的性质172

4.2.5 自共轭算子的谱集非空174

习题4.2174

4.3 自共轭算子的谱分解176

4.3.1 自共轭算子的谱族176

4.3.2 谱积分177

4.3.3 自共轭线性算子的谱分解180

习题4.3182

4.4 正常算子的谱分解183

4.4.1 正常算子和它的谱族183

4.4.2 有界正常算子的谱分解186

习题4.4188

4.5 线性算子的本质谱190

4.5.1 本质谱的定义和性质190

4.5.2 本质谱在紧摄动下的不变性193

4.5.3 本质谱核194

习题4.5195

第五章 线性常微分算子197

5.1 一阶微分算子和它的共轭算子197

5.1.1 有限区间上定义的一阶微分算子197

5.1.2 无穷区间上定义的一阶微分算子201

5.2 Sturm-Liouville算子203

5.2.1 Sturm-Liouville算子和它的预解算子203

5.2.2 Sturm-Liouville算子的谱206

5.3 高阶微分算子208

5.3.1 最大最小算子和亏指数208

5.3.2 具有紧预解算子的微分算子211

5.4 极限点型和极限圆型微分算子的自共轭域212

5.4.1 有限区间上定义的微分算子的自共轭域212

5.4.2 无穷区间上定义的微分算子的自共轭域213

5.5 具有中间亏指数奇型微分算子的自共轭扩张215

5.5.1 亏指数的取值范围215

5.5.2 最大算子域的分离性刻画216

5.5.3 微分算子自共轭域的完全刻画221

5.6 微分算子的辛结构225

5.6.1 辛空间225

5.6.2 高阶奇型微分算子自共轭域的辛几何刻画228

第六章 常微分算子的谱分析233

6.1 数学物理中的微分算子和Schr？dinger算子233

6.2 自共轭微分算子的谱235

6.2.1 A0的共轭算子235

6.2.2 常系数自共轭微分算子及其相关摄动下的本质谱236

6.2.3 常系数自共轭Euler微分算子及其相关摄动下的本质谱251

6.3 自共轭微分算子谱的离散性259

6.3.1 一般类型微分算子谱的离散性259

6.3.2 Euler微分算子谱是离散的充分必要条件265

6.4 J自共轭微分算子的本质谱267

6.4.1 J自共轭微分算子的定义267

6.4.2 常系数J对称微分算子及其相关摄动的本质谱268

6.4.3 常系数J自共轭Euler微分算子及其相关摄动的本质谱272

6.4.4 具有可积系数的二阶J对称微分算子的本质谱273

6.5 J自共轭微分算子谱的离散性277

6.5.1 高阶J自共轭微分算子谱离散的充分条件277

6.5.2 一项高阶自共轭微分算子谱是离散的充分条件283

参考文献287

索引290