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第1章 一维内插、近似和误差1

1.1 线性内插和三角基函数1

1.2 高阶多项式的内插和基函数4

1.2.1 拉格朗日内插4

1.2.2 Hermite内插6

1.3 函数表示的误差13

1.3.1 内插误差13

1.3.2 频谱完整性和其他频域问题18

1.4 具有边界奇异点的近似函数22

1.4.1 奇异扩展功能25

1.4.2 符合精确的近似奇异加多项式基函数的奇异函数26

1.4.3 不允许精确近似的奇异函数28

1.5 小结32

参考文献32

第2章 二维和三维的标量插值34

2.1 二维、三维网格和典型单元34

2.1.1 协调网格和几何数据基结构的基础35

2.2 西尔韦斯特插值多项式37

2.3 典型单元的归一化坐标40

2.4 三角形单元42

2.4.1 单元几何表达和局部矢量基42

2.4.2 拉格朗日基函数、插值和梯度近似值46

2.4.3 插值误差50

2.4.4 谱完整性和其他频域问题52

2.4.5 弯曲的单元56

2.5 四边形单元58

2.5.1 单元几何表达和局部矢量基58

2.5.2 拉格朗日基函数、插值和梯度近似值60

2.6 四面体单元62

2.6.1 单元几何表示和局部矢量基62

2.6.2 拉格朗日基函数65

2.7 长方体单元67

2.7.1 单元几何表示和局部矢量基67

2.7.2 拉格朗日基函数70

2.8 三棱柱单元72

2.8.1 单元的几何表达和局部矢量基72

2.8.2 拉格朗日基函数75

2.9 形状函数的生成77

参考文献77

第3章 二维和三维空间中矢量场的低阶多项式表示78

3.1 三角形的二维矢量函数78

3.1.1 线性旋度一致矢量基函数79

3.1.2 三角形的一种简单的旋度一致表示81

3.1.3 替换方法：三角形的散度一致表示82

3.2 切线矢量对法向矢量连续性：旋度一致基和散度一致基83

3.2.1 其他专业术语86

3.3 矩形单元的二维表示86

3.4 二维空间准亥姆霍兹分解：环函数和星函数89

3.5 旋度一致基和散度一致基之间的投影91

3.6 四面体单元的三维空间表示：旋度一致基92

3.7 四面体单元的三维空间表示：散度一致基94

3.8 长方体单元的三维空间表示：旋度一致情况95

3.9 长方体单元的散度一致基96

3.10 四面体网格的准亥姆霍兹分解96

3.11 斜网格或有曲面网格的矢量基函数97

3.11.1 基和倒数基矢量98

3.11.2 协变和逆变映射101

3.11.3 父空间中的导数104

3.11.4 表面约束105

3.11.5 实例：四边形单元108

3.12 混合阶Nédélec空间109

3.13 德拉姆综合体114

3.14 小结116

参考文献116

第4章 任意阶插值矢量基119

4.1 矢量基的发展119

4.2 矢量基的构造120

4.3 针对典型2D空间单元的零阶矢量基122

4.4 典型3D空间单元的零阶矢量基123

4.5 高阶矢量基构建方法124

4.5.1 2D空间单元高阶矢量基的完备性124

4.5.2 3D空间单元高阶矢量基的完备性125

4.5.3 移动西尔韦斯特多项式在移动元素内插值点上的应用127

4.6 典型2D空间单元的矢量基127

4.6.1 只在三角形单元的一条边上的带有边插值点的a（p，ξ）多项式127

4.6.2 只在四边形单元的一条边上的带有边插值点的a（p，ξ）多项式130

4.6.3 三角形单元的p阶矢量基131

4.6.4 四边形单元的p阶矢量基134

4.7 3D单元的矢量基136

4.7.1 四面体单元136

4.7.2 长方体单元142

4.7.3 三棱柱单元148

4.8 表格155

参考文献174

第5章 分层级基177

5.1 病态条件问题178

5.2 分层级标量基182

5.2.1 四面体和三角形基182

5.2.2 四边形基194

5.2.3 长方体基195

5.2.4 棱柱基196

5.3 分层级旋度一致矢量基198

5.3.1 四面体和三角形基200

5.3.2 四面体和长方体基210

5.3.3 棱柱基220

5.3.4 条件数对比234

5.4 分层级散度一致矢量基240

5.4.1 相邻单元公共面的参考变量242

5.4.2 四面体基244

5.4.3 棱柱基248

5.4.4 长方体基252

5.4.5 数值结果及与其他基的对比254

5.5 结论257

参考文献257

第6章 积分方程和微分方程的数值计算261

6.1 电场积分方程261

6.2 曲面单元的合并264

6.3 利用奇异减法和消除技术处理Green函数的奇异性269

6.4 例子：散射横截面计算275

6.5 矢量亥姆霍兹方程279

6.6 腔体矢量亥姆霍兹方程的数值解281

6.7 用自适应p－优化和分层级基避免伪模式286

6.8 具有旋度一致基的空间单元的应用287

6.9 应用：深腔散射289

6.10 小结291

参考文献292

第7章 关于奇异场高阶基的介绍295

7.1 边界场的奇异点296

7.2 三角极坐标变换298

7.3 三角形的奇异标量基函数301

7.3.1 代用型的最低阶数基301

7.3.2 代用型的高阶基302

7.3.3 加性奇异基函数303

7.3.4 无理代数标量基函数309

7.3.5 范例：有一个奇异度的二次基311

7.3.6 范例：有两个奇异度的立方基312

7.3.7 估计奇异基的积分313

7.4 标量基的数值结果316

7.4.1 边波导结构的特征值317

7.4.2 改变半径和方位角数目的影响324

7.5 三角形的奇异矢量基函数331

7.5.1 替代旋度一致矢量基331

7.5.2 加性旋度一致矢量基332

7.6 奇异分层Meixner基集333

7.6.1 奇异点系数333

7.6.2 辅助函数334

7.6.3 奇异场的表示337

7.6.4 奇异标量场337

7.6.5 奇异静态矢量基337

7.6.6 奇异非静态矢量基339

7.6.7 径向函数R n和Sn的数值计算340

7.6.8 范例：有一个奇异指数的阶数p＝1.5的基341

7.6.9 范例：有两个奇异指数的阶数p＝2.5的基341

7.7 数值结果342

7.8 包含拐角的非均匀波导结构的数值结果359

7.9 具有刃状奇异点的薄金属板的数值结果364

7.10 小结367

参考文献367