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前言1

第1部分　高等数学1

目录1

第1章 函数、极限与连续3

1.1 常用基础公式、函数及函数性质4

1.1.1 常用代数公式4

1.1.2 常用三角公式6

1.1.3 基本初等函数的图形与其主要性质7

1.1.4 双曲函数及其反函数7

1.2 函数16

1.2.1 集合、常量与变量16

1.1.5 常见的经济函数16

1.2.2 函数概念18

1.2.3 函数的性质与类型19

1.2.4 函数的作图21

1.3 极限23

1.3.1 数列的极限23

1.3.2 函数的极限26

1.4　连续33

1.4.1 函数的连续性33

1.4.2 函数的间断点34

1.4.3 初等函数的连续性35

1.4.4 闭区间上连续函数的性质36

1.4.5 函数的一致连续性37

第2章　一元函数微分学38

2.1　导数及其求法39

2.1.1 导数与导函数的概念39

2.1.2 不可导的几种情形40

2.1.3 可导与连续的关系40

2.1.4 导数的几何意义与平面曲线的切线、法线方程41

2.1.5 导数的物理意义与相关变化率41

2.1.6　导数的求法42

2.2　高阶导数及其求法44

2.2.1 高阶导数44

2.2.2 基本公式45

2.2.3 莱布尼兹公式45

2.3.1　微分的概念46

2.3　微分及其应用46

2.2.4 高阶导数题型46

2.3.2　微分的几何意义47

2.3.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则48

2.3.4 微分的应用50

2.4　中值定理及其应用51

2.4.1 微分学基本定理51

2.4.2　洛必达法则53

2.4.3 中值定理应用55

2.5　导数的应用57

2.5.1 函数单调性的判定法57

2.5.2 函数的极值及其求法57

2.5.3　最大值、最小值问题59

2.5.4 曲线的凹凸、拐点与渐近线60

2.5.5 函数图形的描绘61

2.5.6 曲率62

2.5.7 方程的近似解65

2.5.8 导数在经济中的应用66

2.5.9 函数极值在经济管理中的应用68

第3章　一元函数积分学71

3.1 不定积分71

3.1.1 不定积分的概念与性质71

3.1.2　基本积分方法74

3.1.3 几种特殊类型函数的积分79

3.2　定积分81

3.2.1 定积分的概念与性质81

3.2.2　微积分基本公式84

3.2.3 定积分的计算方法85

3.2.4 定积分的近似计算86

3.3　定积分的应用87

3.3.1 元素法87

3.3.2 几何应用88

3.3.3　定积分在物理和力学上的应用91

3.3.4 经济问题92

3.3.5 平均值与均方根92

3.4　广义积分92

3.4.1 两类广义积分的定义92

3.4.2　广义积分的审敛法94

3.4.4 г函数96

3.4.3　广义积分的求值96

第4章 向量代数和空间解析几何97

4.1 向量代数98

4.1.1 向量及其加减法 向量与数的乘法98

4.1.2 向量在轴上的投影100

4.1.3 向量方向余弦的坐标表示式101

4.1.4 数量积、向量积与混合积102

4.2　空间解析几何104

4.2.1 空间直角坐标系及空间两点间的距离104

4.2.2 曲面及其方程 二次曲面105

4.2.3 空间曲线及其方程108

4.2.4 平面及其方程110

4.2.5 空间直线及其方程112

第5章 多元函数微分学114

5.1　多元函数的概念、极限与连续性115

5.1.1 区域及有关概念115

5.1.2 多元函数概念116

5.1.3 多元函数的极限116

5.1.4 多元函数的连续性117

5.2　偏导数与全微分119

5.2.1　偏导数及其计算法119

5.2.2 高阶偏导数120

5.2.3　偏导数在经济学中的应用121

5.2.4　全微分124

5.2.5 多元复合函数的求导法则125

5.2.6 隐函数的求导公式127

5.3　微分法在几何上的应用129

5.3.1 空间曲线的切线与法平面129

5.3.2 曲面的切平面与法线130

5.3.3 方向导数与梯度131

5.4　多元函数的极值及其求法134

5.4.1 条件极值134

5.4.2 条件极值 拉格朗日乘数法135

5.4.3 函数的最大值和最小值136

5.5　泰勒公式与最小二乘法136

5.5.1　二元函数的泰勒公式136

5.5.2 最小二乘法138

第6章　多元函数积分学140

6.1　二重积分141

6.1.1 二重积分的概念与性质141

6.1.2 二重积分的计算143

6.1.3 二重积分的应用146

6.2　三重积分149

6.2.1 三重积分的概念与性质149

6.2.2 三重积分的计算150

6.2.3 三重积分的应用155

6.3　含参变量的积分156

6.3.1 概念156

6.3.2 性质157

6.4.1 对弧长的曲线积分158

6.4 曲线积分158

6.4.2 对坐标的曲线积分160

6.4.3 两类曲线积分之间的联系162

6.4.4 格林公式及其应用163

6.5 曲面积分165

6.5.1 对面积的曲面积分165

6.5.2 对坐标的曲面积分167

6.5.3 两类曲面积分之间的联系169

6.5.4　高斯公式 通量与散度170

6.5.5 斯托克斯公式 环流量与旋度173

6.5.6 向量微分算子176

第7章　无穷级数177

7.1.2 收敛级数的基本性质178

7.1　常数项级数178

7.1.1 基本概念178

7.1.3　柯西审敛原理179

7.1.4 常数项级数的判别法180

7.1.5 常数项级数的求和184

7.2　幂级数185

7.2.1 函数项级数与幂级数的概念185

7.2.2 幂级数的收敛性、运算及和函数性质186

7.2.3 函数展开成幂级数188

7.2.4 函数的幂级数展开式的应用191

7.2.5 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质193

7.3　傅里叶级数194

7.3.1 傅里叶级数194

7.3.2 正弦级数和余弦级数196

7.3.3　周期为2l的周期函数的傅里叶级数197

7.3.4 非周期函数在有限区间上展开为傅里叶级数198

7.3.5　傅里叶级数的复数形式199

第8章　常微分方程200

8.1　基本概念200

8.2　一阶微分方程201

8.2.1 变量可分离的微分方程201

8.2.2　齐次方程202

8.2.3 一阶线性微分方程203

8.2.4　全微分方程204

8.2.5　欧拉-柯西近似法205

8.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程206

8.3 可降阶的高阶微分方程206

8.3.2　y″＝f（x，y′）型的微分方程207

8.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程207

8.4 高阶线性微分方程207

8.4.1　基本概念207

8.4.2 线性微分方程的解的结构208

8.4.3 常数变易法209

8.4.4　二阶与n阶常系数齐次线性微分方程210

8.4.5 二阶与n阶常系数非齐次线性微分方程212

8.4.6　欧拉方程213

8.5　微分方程的幂级数解法214

8.6　常系数线性微分方程组215

第2部分　线性代数217

第9章　行列式219

9.1　行列式的定义219

9.1.1 排列、逆序与对换219

9.1.2　n阶行列式220

9.2　行列式的性质与计算221

9.2.1 行列式的性质221

9.2.2 行列式按行（列）展开定理222

9.2.3 拉普拉斯展开定理及其应用特例223

9.2.4　行列式的计算224

第10章　矩阵226

10.1　矩阵及其运算226

10.1.1 矩 阵226

10.1.2　矩阵的运算228

10.2　矩阵的秩与矩阵的初等变换230

10.2.1 矩阵的秩及其求法230

10.2.2　矩阵的初等变换231

10.2.3 等价矩阵231

10.2.4 初等矩阵231

10.3　逆矩阵233

10.3.1 逆矩阵的定义233

10.3.2　逆矩阵的性质233

10.3.3　矩阵可逆的充要条件233

10.3.4　伴随矩阵234

10.3.5 逆矩阵的求法234

10.4.2 分块矩阵的运算规则236

10.4　矩阵的分块236

10.4.1 分块矩阵的定义236

10.4.3　利用分块矩阵求逆矩阵237

10.4.4 分块初等矩阵和分块矩阵的初等变换238

第11章　向量239

11.1　n维向量239

11.1.1　n维向量的定义239

11.1.2 向量的运算240

11.2　向量间的线性关系241

11.2.1 线性组合与线性表示241

11.2.2 线性相关与线性无关241

11.3.2 向量组的等价性243

11.3.3 向量组的秩243

11.3　向量组的秩和矩阵的秩243

11.3.1 极大线性无关组243

11.3.4　矩阵的秩244

11.4　向量空间244

11.4.1　基本概念244

11.4.2　基变换与坐标变换245

11.4.3 判定与求解方法246

11.4.4 向量的内积247

11.4.5　标准正交基和正交矩阵248

12.1　消元法250

12.1.1 线性方程组的基本概念250

第12章　线性方程组250

12.1.2　线性方程组的初等变换及有解条件251

12.1.3　消元法252

12.2　线性方程组解的讨论253

12.2.1 线性方程组解的判定253

12.2.2 非齐次与齐次线性方程组解的关系253

12.2.3 线性方程组解的性质254

12.3　线性方程组解的结构254

12.3.1 基础解系、通解及解空间254

12.3.2 齐次线性方程组解的结构256

12.3.3 非齐次线性方程组解的结构256

12.4.2 线性方程组解的求法257

12.4.1 克莱姆法则及推论257

12.4　克莱姆法则与线性方程组的一般求法257

第13章　矩阵的特征值和特征向量259

13.1 特征值和特征向量259

13.1.1　基本概念259

13.1.2　主要性质260

13.1.3　求解方法260

13.1.4 特征多项式的性质261

13.1.5 相似矩阵261

13.2　矩阵相似对角化的条件262

13.2.1 可相似对角化的概念与条件262

13.2.2　矩阵可对角化的判断263

13.3.1　基本性质264

13.3.2 实对称矩阵的相似对角化方法264

13.3　实对称矩阵及其相似对角化264

第14章　二次型265

14.1　二次型及其矩阵表示265

14.1.1 二次型的概念265

14.1.2 二次线性与对称矩阵266

14.1.3 合同矩阵266

14.2　化二次型为标准形和规范形267

14.2.1 二次型的标准形和规范形267

14.2.2 化二次型为标准形的方法267

14.3 正定二次型269

14.3.1 概念269

14.2.4　惯性定理269

14.2.3 化二次型为规范形的方法269

14.3.2　判别法270

14.3.3 正定矩阵的性质270

第3部分　概率论与数理统计273

第15章　随机事件和概率275

15.1 随机事件及其运算275

15.1.1 随机事件与样本空间275

15.1.2 事件的关系276

15.1.3　事件的运算277

15.2　事件的概率及其性质279

15.2.1 频率及其稳定性279

15.2.2　概率的定义279

15.3.1 加法与乘法原理 排列与组合280

15.3　概率的计算280

15.2.3　概率的性质280

15.3.2　古典型概率282

15.3.3　几何型概率282

15.3.4　条件概率282

15.4　独立试验序列概型284

15.4.1 独立试验序列概型284

15.4.2　事件的独立性284

15.4.3　贝努利概型285

第16章　随机变量及其概率分布286

16.1　随机变量及其分布函数286

16.1.1 随机变量286

16.1.3 随机变量的概率分布287

16.1.2 随机变量的分布函数287

16.2　离散型随机变量及其分布律288

16.2.1　基本概念288

16.2.2　分布函数288

16.2.3　概率函数与分布函数及事件概率的关系288

16.2.4 常见离散型随机变量的概率分布289

16.2.5 泊松定理290

16.2.6 离散型随机变量分布律的求法291

16.2.7 二项分布与泊松分布的应用291

16.3　连续型随机变量及其概率密度函数292

16.3.1　基本概念与性质292

16.3.2　概率密度与分布函数及事件概率的关系293

16.3.3 常见连续型随机变量的概率分布294

16.3.4　指数分布与正态分布的应用296

16.4.1　基本概念297

16.4　随机变量函数及其分布297

16.4.2 离散型随机变量函数的分布律298

16.4.3　连续随机变量函数的概率密度函数298

第17章　二维随机变量及其概率分布299

17.1　二维随机变量及其分布函数299

17.1.1 二维随机变量299

17.1.2 二维随机变量的分布函数299

17.2.1 二维离散型随机变量300

17.2.2 分布律300

17.2　二维离散型随机变量及其分布律300

17.1.3　边缘分布函数300

17.2.3　边缘分布律301

17.2.4 分布律与分布函数的关系301

17.3　二维连续型随机变量及其分布律302

17.3.1 二维连续型随机变量302

17.3.2　概率密度的性质302

17.3.3　边缘密度函数302

17.4　条件分布303

17.4.1 离散型随机变量的条件分布律303

17.4.2　连续型随机变量的条件分布律303

17.6.1　基本概念304

17.5.2　独立的充分必要条件304

17.6　二维随机变量函数的分布304

17.5.1 独立性304

17.5　二维随机变量的独立性304

17.6.2　Z＝X＋Y的分布305

17.6.3　Z＝X2＋Y2的分布305

17.6.4　M＝max（X,Y）及N＝min（X,Y）的分布306

17.7　常见的二维概率分布306

17.7.1 二维0-1分布306

17.7.2　二维均匀分布306

17.7.3 二维正态分布306

第18章　随机变量的数字特征308

18.1 随机变量的数学期望与方差308

18.1.1 随机变量的数学期望308

18.1.2 随机变量的方差与标准差309

18.1.3 常用分布的数学期望与方差310

18.2　协方差、相关系数和矩312

18.2.1 协方差312

18.2.2 相关系数312

18.2.3 独立性与不相关性313

18.2.4 矩314

18.3　随机变量函数的数学期望与方差314

18.3.1 随机变量函数的数学期望314

18.3.2　随机变量函数的方差315

第19章　大数定律和中心极限定理317

19.1 随机序列的收敛性及切比雪夫不等式317

19.1.1 分布函数的弱收敛317

19.1.2 随机变量的收敛性317

19.1.3 切比雪夫不等式与马尔科夫不等式318

19.2　大数定律319

19.2.1 定义319

19.2.2 常用的大数定律320

19.2.3　柯尔莫哥洛夫定理及判别法321

19.3 中心极限定理321

19.3.1 定义321

19.3.2 常见的中心极限定理322

第20章　数理统计的基本概念与抽样分布325

20.1　数理统计的基本概念325

20.1.1 总体与样本325

20.1.3　顺序统计量326

20.1.2　统计量326

20.1.4　经验分布函数与抽样分布327

20.2　常用的抽样分布327

20.2.1 样本均值的分布327

20.2.2　x2分布328

20.2.3 t分布331

20.2.4　F分布332

第21章　参数估计335

21.1　参数估计的概念与分类335

21.2　点估计335

21.2.1 基本概念335

21.2.2 常见的点估计336

21.2.3 常用的点估计方法337

21.2.4 估计量的简单性质（评价标准）339

21.3.1 基本概念340

21.3　区间估计340

21.3.2 正态总体期望的区间估计341

21.3.3 正态总体方差的区间估计342

21.3.4 两个正态总体均值差的区间估计343

21.3.5 两个正态总体方差比的区间估计345

第22章　假设检验346

22.1　假设检验与参数检验346

22.1.1 基本概念346

22.1.2　假设检验的一般步骤346

22.2　单个正态总体的假设检验347

22.2.1 已知方差σ2，检验假设H0：μ＝μ0347

22.1.3　假设检验的风险及两类错误347

22.2.2 未知方差σ2，检验假设H0：μ＝μ0348

22.2.3 未知方差σ2，检验假设H0：μ≤μ0348

22.2.4 已知均值μ，检验假设H0：σ2＝σ？349

22.2.5　未知均值μ，检验假设H0：σ2＝σ？349

22.2.6 未知均值μ，检验假设H0：σ2≤σ？350

22.3　两个正态总体的假设检验351

22.3.1 已知方差σ？,σ？，检验假设H0：μ1＝μ2352

22.3.2 未知方差σ？,σ？但σ？＝σ？＝σ2，检验假设H0：μ1＝μ2352

22.3.3 已知均值μ1,μ2，检验假设H0：σ？＝σ？353

22.3.4 未知均值μ1,μ2，检验假设H0：σ？＝σ？353

22.4　关于总体分布函数的假设检验355

参考文献357