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第一章 函数、极限与连续1

1.1函数1

一、函数概念1

二、函数的基本性态3

三、反函数4

四、初等函数4

五、建立函数关系举例6

习题1.16

1.2极限概念7

一、数列的极限7

二、函数的极限9

三、无穷小与无穷大的概念11

四、极限的精确定义13

习题1.214

1.3极限运算15

一、极限运算法则15

二、两个重要极限16

三、无穷小的比较19

习题1.320

1.4函数的连续性21

一、函数的连续性21

二、间断点及其分类23

三、初等函数的连续性24

四、闭区间上连续函数的性质25

习题1.426

知识拓展：常见经济函数的介绍27

典型实例分析29

一、连续复利问题29

二、四脚方椅的稳定问题30

学习指导31

复习题一33

第二章 导数与微分37

2.1导数概念37

一、引例37

二、导数的概念38

三、导数的几何意义42

四、可导与连续的关系43

习题2.144

2.2求导法则44

一、导数的四则运算法则44

二、反函数的求导法则46

三、复合函数的求导法则46

四、隐函数求导法48

五、基本初等函数的求导公式49

六、参数方程所表示函数的导数50

习题2.250

2.3高阶导数51

习题2.353

2.4函数的微分54

一、微分的定义54

二、微分的几何意义56

三、微分公式与运算法则56

四、微分形式不变性57

习题2.457

知识拓展：微分在近似计算中的应用58

典型实例分析59

一、导数在经济学中的含义59

二、经济量的弹性问题60

三、人影移动的速率问题61

学习指导61

复习题二64

第三章 导数的应用68

3.1洛必达法则68

一、“O/O”型和“∞/∞”型未定式68

二、其他类型极限求法71

习题3.171

3.2函数的单调性和极值72

一、函数的单调性72

二、函数的极值74

三、最大值与最小值问题76

习题3.278

3.3曲线的凹凸性与拐点78

习题3.380

3.4函数作图80

一、曲线的渐近线80

二、函数图形的描绘81

习题3.482

知识拓展：微分中值定理82

典型实例分析85

一、利润最大问题85

二、计算机为何采用二进制85

学习指导87

复习题三91

第四章 不定积分95

4.1不定积分的概念与性质95

一、原函数与不定积分的概念95

二、不定积分的几何意义96

三、不定积分的性质97

四、基本积分公式97

五、直接积分法98

习题4.199

4.2换元积分法99

一、第一类换元积分法（凑微分法）100

二、第二类换元积分法102

习题4.2105

4.3分部积分法106

习题4.3109

4.4积分表的使用110

一、直接代入表中公式求解110

二、先变形或进行变量替换，再查表求积分110

三、利用递推关系式查表求解110

习题4.4111

知识拓展：几种特殊类型函数的积分111

典型实例分析117

一、他的胰脏正常吗117

二、用马尔萨斯人口方程预测人口总数117

学习指导118

复习题四124

第五章 定积分及其应用126

5.1定积分的概念与性质126

一、引例126

二、定积分的定义128

三、定积分的几何意义129

四、定积分的性质130

习题5.1133

5.2定积分的计算133

一、牛顿-莱布尼兹公式133

二、定积分的换元积分法134

三、定积分的分部积分法136

习题5.2137

5.3定积分的应用137

一、微元法简介137

二、定积分的几何应用138

三、定积分的物理应用和经济应用举例142

习题5.3143

5.4广义积分144

一、无穷区间上的广义积分144

二、无界函数的广义积分145

习题5.4146

知识拓展：积分上限的函数及其导数147

典型实例分析149

一、储存费问题149

二、车辆的平均行驶速度问题150

学习指导150

复习题五154

第六章 常微分方程159

6.1微分方程的基本概念159

习题6.1161

6.2一阶微分方程161

一、可分离变量的微分方程162

二、齐次方程163

三、一阶线性微分方程165

习题6.2168

6.3二阶常系数线性微分方程168

一、线性微分方程解的结构168

二、二阶常系数线性齐次微分方程170

三、二阶常系数线性非齐次微分方程172

习题6.3175

知识拓展176

一、可降阶的二阶微分方程176

二、伯努利方程177

典型实例分析179

一、招生问题179

二、破案问题179

学习指导180

复习题六185

第七章 空间解析几何及向量代数187

7.1空间直角坐标系187

一、空间点的坐标187

二、空间两点间的距离188

习题7.1189

7.2空间向量189

一、向量的概念189

二、向量的加减法与向量的数乘190

三、向量的坐标表示191

四、向量的数量积193

五、向量的向量积195

习题7.2197

7.3平面及其方程197

一、平面方程197

二、平面之间的关系200

三、点到平面的距离201

习题7.3201

7.4空间直线及其方程201

一、直线方程201

二、两直线的夹角203

三、直线与平面的夹角204

习题7.4204

知识拓展：空间曲面与空间曲线205

典型实例分析211

一、垂直渡河问题211

二、光线的反射问题212

学习指导212

复习题七217

第八章 多元函数微积分学219

8.1多元函数的基本概念219

一、多元函数的概念219

二、二元函数的几何意义221

三、二元函数的极限221

四、二元函数的连续性222

习题8.1223

8.2偏导数224

一、偏导数的定义及其计算法224

二、高阶偏导数226

习题8.2227

8.3全微分228

一、全微分的定义228

二、全微分的计算法229

三、全微分在近似计算中的应用229

习题8.3230

8.4多元复合函数和隐函数的求导法230

一、多元复合函数的求导法230

二、隐函数的求导法233

习题8.4234

8.5偏导数的应用235

一、二元函数的极值235

二、最大值与最小值问题236

三、条件极值237

四、偏导数的几何应用238

习题8.5240

8.6二重积分的概念与性质240

一、二重积分的概念240

二、二重积分的性质243

习题8.6244

8.7二重积分的计算244

一、利用直角坐标计算二重积分244

二、利用极坐标计算二重积分248

习题8.7251

8.8二重积分的应用举例251

一、求体积251

二、求曲面的面积252

三、求平面薄板的质量253

习题8.8253

知识拓展：简单经济问题中的最大值、最小值求法253

典型实例分析255

一、洗衣淘米问题——节约用水很重要255

二、火山喷发后高度的变化问题256

学习指导256

复习题八263

第九章 无穷级数268

9.1常数项级数的概念与性质268

一、常数项级数的概念268

二、常数项级数的性质271

三、级数收敛的必要条件272

习题9.1272

9.2常数项级数的审敛法273

一、正项级数及其审敛法273

二、交错级数及其审敛法276

三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛277

习题9.2279

9.3幂级数279

一、函数项级数的一般概念279

二、幂级数及其收敛区间的求法280

三、幂级数的运算283

习题9.3285

9.4函数展开成幂级数285

一、泰勒级数285

二、函数展开成幂级数286

习题9.4289

知识拓展：根值判别法290

典型实例分析291

一、齐诺悖论问题291

二、银行存款问题292

学习指导293

复习题九304

第十章 软件应用307

10.1 MATLAB简介307

一、MATLAB概述307

二、MATLAB的基本运算与函数308

三、函数绘图310

10.2 MATLAB在微积分中的应用313

一、求一元函数的极限313

二、求一元函数的导数313

三、求一元函数的积分315

四、解常微分方程315

五、求偏导数316

六、求二重积分317

七、进行级数运算318

附录一 基本初等函数的图形及其主要性质320

附录二 常用数学公式323

附录三 希腊字母表328

附录四 简易积分表329

附录五 极坐标系和复数简介338

附录六 数学建模方法简述341

参考答案345

参考文献360